이항 계수

이항 계수 $($binomial coefficient$)$는 이항식을 이항 정리로 전개했을 때 각 항의 계수이며, 주어진 크기의 $($순서 없는$)$ 조합의 가짓수이다.

 

1. 정의

자연수 n 및 정수 k가 주어졌을 때, 

\begin{align}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) \begin{cases}n!/k!(n-k!) & 0 \leq k \leq n\\0 & k < 0\\0 k > n\end{cases}\end{align}

 

2. 성질

항등식

\begin{align}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}n\\ n - k\end{array}\right)\end{align}

파스칼 법칙 $($파스칼 삼각형$)$

\begin{align}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}n\\ k + 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}n + 1\\ k + 1\end{array}\right)\end{align}

 

급수 계산에 사용 하면 편리한 경우가 있습니다.