[선형대수학] 선형 변환 4

안녕하세요! 이번 블로그 포스트에서는 선형 변환$($Linear Transformation$)$의 정의와 특성, 활용에 대해 다루겠습니다.

1. 선형 변환의 정의와 특성
   선형 변환은 벡터 공간에서 한 벡터를 다른 벡터로 매핑하는 함수입니다. 이때, 두 조건을 만족해야 합니다:
   - 덧셈에 대해 보존: $T(u+v)=T(u)+T(v)$ for all u, v in the vector space.
   - 스칼라 곱에 대해 보존: $T(ku)=kT(u)$ for all scalar k and vector u in the vector space.

   선형 변환은 벡터의 방향과 크기를 유지하면서 벡터를 변환시키는 특징이 있습니다. 따라서 선형 변환은 행렬 연산으로 나타낼 수 있으며, 이때 선형 변환 행렬을 사용합니다.

2. 선형 변환 행렬의 구성과 활용
   선형 변환 행렬은 입력 벡터를 변환된 벡터로 매핑하는 행렬입니다. 선형 변환의 결과는 선형 변환 행렬과 입력 벡터의 곱으로 계산됩니다.

   예를 들어, 2차원 공간에서의 선형 변환을 고려해봅시다. 입력 벡터가 $x, y$라면, 선형 변환 행렬 A를 다음과 같이 적용할 수 있습니다:
   $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$
   이때, 행렬 A는 2x2 행렬이며, 선형 변환에 따라 입력 벡터 $x, y$를 $x', y'$로 변환시킵니다. 선형 변환 행렬을 구성하고 활용함으로써 다양한 변환을 수행할 수 있습니다.

   선형 변환 행렬의 예시:
   - 회전 변환
   - 스케일링 변환
   - 이동 변환

 

1. 회전 변환:
   회전 변환은 2차원 또는 3차원 공간에서 점들을 기준점을 중심으로 회전시키는 변환이며, 주로 각도를 이용하여 정의됩니다. 2차원 공간에서의 회전 변환은 주로 2x2 회전 행렬을 사용합니다.

   예를 들어, 2차원 공간에서 반시계 방향으로 각도 $\theta$만큼 회전하는 회전 행렬은 다음과 같습니다:
   $$R=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]$$

2. 크기$($Scaling$)$ 변환:
   크기 변환은 공간의 크기를 확대 또는 축소시키는 변환이며, 주로 스케일링 요소를 이용하여 정의됩니다. 2차원 공간에서의 크기 변환은 주로 2x2 스케일링 행렬을 사용합니다.

   예를 들어, 2차원 공간에서 x축 방향으로 scaleX배, y축 방향으로 scaleY배 스케일링하는 크기 행렬은 다음과 같습니다:
   $$S=\left[\begin{array}{cc}scaleX& 0\\ 0& scaleY\end{array}\right]$$

3. 평행 이동 변환:
   이동 변환은 점들을 주어진 벡터만큼 이동시키는 변환이며, 주로 이동 벡터를 이용하여 정의됩니다. 2차원 공간에서의 이동 변환은 주로 2x2 이동 행렬을 사용합니다.

   예를 들어, 2차원 공간에서 x축 방향으로 deltaX만큼, y축 방향으로 deltaY만큼 이동하는 이동 행렬은 다음과 같습니다:
   $$T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& deltaX\\ 0& 1& deltaY\end{array}\right]$$

밀기 변환

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+az\\ y+bz\\ z\end{array}\right]$$

 

이러한 선형 변환 행렬들은 특정 변환이 어떻게 이루어지는지 행렬의 형태로 나타내어 행렬 연산을 통해 효율적으로 변환을 수행할 수 있습니다. 선형 변환은 컴퓨터 그래픽스, 이미지 처리, 머신 러닝 등 다양한 분야에서 활용되며, 이러한 변환들은 다양한 시각적 효과나 데이터 변환에 사용됩니다. 다음 포스트에서는 고유값과 고유벡터에 대해 더 자세히 다루도록 하겠습니다. 감사합니다!