[선형대수학] 행렬 연산 - 행렬 곱셈, 전치 행렬, 역행렬 존재 조건 3

제목: 행렬 연산 - 행렬곱셈과 전치행렬, 역행렬과 존재 조건

안녕하세요! 이번 블로그 포스트에서는 행렬 연산에 대해 알아보겠습니다. 특히, 행렬곱셈과 전치행렬, 그리고 역행렬과 역행렬의 존재 조건에 대해 자세히 설명하겠습니다.

1. 행렬곱셈$($Matrix Multiplication$)$
   행렬곱셈은 두 행렬을 곱하는 연산으로, 두 행렬의 크기가 알맞게 일치해야 합니다. 행렬곱셈은 왼쪽 행렬의 행과 오른쪽 행렬의 열을 쌍으로 곱하여 새로운 행렬의 원소를 계산합니다. 이러한 연산을 통해 다른 차원의 행렬을 변환하거나 여러 선형변환을 결합하는데에 사용됩니다.

 

   두 행렬 A와 B를 곱하기 위해서는 A 행렬의 열의 개수와 B 행렬의 행의 개수가 동일해야 합니다.
   예를 들어, A가 m x k 행렬이고 B가 k x n 행렬이라면, k의 값이 동일해야 합니다.
   두 행렬 A와 B의 곱셈의 결과로 얻어지는 새로운 행렬 C의 크기는 m x n이 됩니다.

\[
A \cdot B = C
\]

여기서 행렬 C의 원소 c_{ij}는 다음과 같이 계산됩니다:

\[
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}
\]

이러한 방식으로 A와 B 행렬의 곱셈 결과로 새로운 행렬 C를 구할 수 있습니다. 행렬 곱셈은 다양한 분야에서 활용되며, 선형 변환과 다른 행렬 연산에서도 중요한 개념입니다.

\[
A \cdot B = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1p} \\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mp}
\end{pmatrix}
\]

   예시:

   행렬 A와 B:
   \[
   A = \begin{pmatrix}
   1 & 2 \\
   3 & 4 \\
   \end{pmatrix}, \quad
   B = \begin{pmatrix}
   5 & 6 \\
   7 & 8 \\
   \end{pmatrix}
   \]

\[
A \cdot B = \begin{pmatrix}
1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\
3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50 \\
\end{pmatrix}
\]

2. 전치행렬$($Transpose Matrix$)$
   전치행렬은 원래 행렬의 행과 열을 바꾼 행렬입니다. 전치행렬은 주로 행렬의 특성을 파악하거나 행렬 연산을 수행할 때 유용하게 사용됩니다.

   예시:
   행렬 C와 C의 전치행렬:

   \[
   C = \begin{pmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   4 & 5 & 6 \\
   \end{pmatrix}, \quad
   C^T = \begin{pmatrix}
   1 & 4 \\
   2 & 5 \\
   3 & 6 \\
   \end{pmatrix}
   \]


3. 역행렬과 역행렬의 존재 조건
   역행렬은 정사각행렬$($A square matrix$)$에 대해 정의되며, 곱했을 때 항등행렬이 되는 행렬입니다. 역행렬은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있습니다:

 
   가. 역행렬   \[
   A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Adj}(A)
   \]

   여기서 $det(A)$는 행렬 $A$의 행렬식$($Determinant$)$이며, $Adj(A)$는 여인수 행렬의 전치행렬$($Adjugate matrix$)$입니다.

행렬의 determinant(행렬식)은 정사각행렬(square matrix)에 대해 정의되며, 주어진 행렬의 크기에 따라 다른 방법으로 계산됩니다.

2x2 행렬 \begin{align} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{align}의 determinant는 다음과 같이 계산됩니다:
\begin{align} \text{det}(A) = ad - bc \end{align}

예를 들어, 다음과 같은 2x2 행렬의 determinant를 계산하는 경우:
\begin{align} A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \end{align}

 

\[\text{det}(A) = (3 \times 4) - (2 \times 1) = 12 - 2 = 10\]

 

2. 3x3 행렬의 determinant 계산 방법:
3x3 행렬 \begin{align} A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \end{align}의 determinant는 다음과 같이 계산됩니다:

\[\text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\]

예를 들어, 다음과 같은 3x3 행렬의 determinant를 계산하는 경우:

\begin{align} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \end{align}

 

\[\text{det}(A) = 1(5 \times 9 - 6 \times 8) - 2(4 \times 9 - 6 \times 7) + 3(4 \times 8 - 5 \times 7) = 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) = -3\]

 

Cofactor 행렬은 주어진 행렬의 원소들에 대응하는 여인수들을 모아서 새로운 행렬을 구성한 것입니다. 여인수는 행렬의 원소가 속한 행과 열을 제외한 부분의 행렬식으로 계산됩니다. Cofactor 행렬은 행렬의 크기와 동일하며, 주로 역행렬을 구하는 과정에서 사용되는 중요한 개념입니다.

Cofactor 행렬의 원소를 구하는 방법은 다음과 같습니다:

행렬의 원소 $A_ij$에 대한 여인수 $C_ij$를 구합니다. 여인수 $C_ij$는 $A_ij$가 속한 행과 열을 제외한 나머지 원소들로 이루어진 행렬의 행렬식을 의미합니다.
여인수 $C_ij$의 부호를 결정합니다. 여인수의 부호는 $(-1)^(i + j)$ 입니다. 여기서 $(i, j)$ 위치는 0부터 시작하는 인덱스를 사용합니다.
예시 행렬 A를 다음과 같이 가정합니다:

\[ A = \begin{pmatrix}
    a & b \\
    c & d \\
\end{pmatrix} \]

여기서 원소 a의 여인수 C_{11} 은 다음과 같이 구할 수 있습니다:

\[ C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \text{det}\left( \begin{pmatrix} d \end{pmatrix} \right) = d \]

여기서 \((-1)^{1+1}\)은 부호를 나타내며, 1행 1열의 원소는 d이므로 해당 원소의 여인수는 d가 됩니다.

마찬가지로 다른 여인수들도 구할 수 있습니다:

\[ C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \text{det}\left( \begin{pmatrix} c \end{pmatrix} \right) = -c \]

\[ C_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \text{det}\left( \begin{pmatrix} b \end{pmatrix} \right) = -b \]

\[ C_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \text{det}\left( \begin{pmatrix} a \end{pmatrix} \right) = a \]

따라서 원래 행렬 A의 Cofactor 행렬 C는 다음과 같습니다:

\[ C = \begin{pmatrix}
    d & -c \\
    -b & a \\
\end{pmatrix} \]

이렇게 Cofactor 행렬은 각 원소의 여인수로 이루어져 있으며, 원래 행렬과 관련하여 여러 수학적인 특성을 파악하는데에 사용됩니다.

   역행렬의 존재 조건은 다음과 같습니다:
   - 행렬 $A$가 정사각행렬이어야 합니다. $($n x n 크기$)$
   - 행렬 $A$의 행렬식$(det(A))$이 0이 아니어야 합니다. $(det(A) ≠ 0)$

   역행렬은 선형방정식의 해를 구하는데에 사용되고, 다른 행렬 연산과도 밀접한 관련이 있어서 선형대수학에서 중요한 개념입니다.

행렬 연산에 대해 행렬곱셈, 전치행렬, 역행렬과 존재 조건에 대해 간단히 설명해드렸습니다. 행렬 연산은 선형대수학에서 매우 중요하며, 다양한 분야에서 응용됩니다. 다음 포스트에서는 선형 변환과 고유값, 고유벡터에 대해 알아보도록 하겠습니다. 감사합니다!