[선형대수학] 벡터와 행렬 기초 - 기본 개념과 연산 방법 1

안녕하세요! 이번 블로그 포스트에서는 선형대수학의 핵심인 벡터와 행렬에 대해 기본 개념과 연산 방법을 알아보겠습니다.

 

1. 벡터의 정의

   벡터는 크기와 방향을 가지는 양을 나타내는 수학적 개념으로, 일반적으로 화살표로 표현됩니다. 벡터는 공간에서의 위치나 방향을 나타내는 데에 사용됩니다. n개의 실수 원소로 이루어진 n차원 벡터는 다음과 같이 표현됩니다:

 

$\vec{v} = [v_1, v_2, ..., v_n]$
   예를 들어, 2차원 벡터 v = [3, 4]는 x축 방향으로 3만큼 이동하고, y축 방향으로 4만큼 이동하는 벡터를 나타냅니다.

 

2. 벡터의 연산
   가장 기본적인 벡터의 연산은 덧셈과 스칼라 곱셈입니다.

     가. 벡터 덧셈
   벡터 덧셈은 같은 차원의 벡터끼리 원소별로 더해집니다. 즉, 두 벡터의 첫 번째 원소끼리 더하고, 두 번째 원소끼리 더하고, 이를 반복하여 새로운 벡터를 얻습니다.

 

예제:
u = [1, 2]
w = [3, 1]
u + w = [1 + 3, 2 + 1] = [4, 3]

 

     나. 벡터 스칼라 곱셈
   벡터 스칼라 곱셈은 벡터의 모든 원소에 스칼라 값을 곱하는 연산입니다. 스칼라는 실수 값이며, 벡터의 크기와 방향을 변화시킵니다.

 

예제:
v = [2, 5]
c = 3
c * v = 3 * [2, 5] = [3 * 2, 3 * 5] = [6, 15]

 

   이처럼 벡터의 연산은 간단한 수학적 계산으로 이루어지며, 덧셈은 벡터들을 결합하고, 스칼라 곱셈은 벡터를 확장 또는 축소시킵니다.

3. 행렬의 기본 연산

     가. 행렬 덧셈
   행렬 덧셈은 같은 위치의 원소끼리 더해지는 연산입니다. 두 행렬의 크기가 같아야 합니다.

 

   예제:
   \begin{align} A =\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix} \end{align}
   \begin{align} B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\7 & 8 \end{bmatrix} \end{align}

 

   \begin{align} A + B = \begin{bmatrix}1+5 & 2+6 \\3+7 & 4+8 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix}6 & 8 \\10 & 12 \end{bmatrix} \end{align}

     나. 행렬 스칼라 곱셈
   행렬 스칼라 곱셈은 행렬의 모든 원소에 스칼라 값을 곱하는 연산입니다.

 

   예제:
   \begin{align} C =\begin{bmatrix}2 & 3 \\4 & 5 \end{bmatrix} \end{align}

   c = 3

 

   \begin{align} c \times C = \begin{bmatrix}3 \times 2 & 3 \times 3 \\3 \times 4 & 3 \times 5 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix}6 & 9 \\12 & 15 \end{bmatrix} \end{align}

 

     다. 행렬곱셈
   행렬곱셈은 두 행렬의 크기가 알맞게 일치해야 하며, 결과 행렬의 크기는 첫 번째 행렬의 행의 개수와 두 번째 행렬의 열의 개수로 결정됩니다.

m x k행렬 곱하기 k x n행렬 >>> m x n행렬

 

     예제:
   \begin{align} D =\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix} \end{align}
   \begin{align} E =\begin{bmatrix}5 & 6 \\7 & 8 \end{bmatrix} \end{align}

   \begin{align} D \times E = \begin{bmatrix}1 \times 5 + 2 \times 7& 1 \times 6 + 2 \times 8 \\3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix}19 & 22 \\43 & 50 \end{bmatrix} \end{align} 

 

 

4. 행렬의 특성

     가. 전치행렬
   전치행렬은 원래 행렬의 행과 열을 바꾼 행렬입니다.

 

   예제:
   \begin{align} F =\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \end{align}
   전치행렬 \begin{align} F^T =\begin{bmatrix}1 & 4 \\2 & 5\\ 3 & 6 \end{bmatrix} \end{align}

 

     나. 항등행렬
   항등행렬은 주 대각선이 모두 1이고, 나머지 원소가 모두 0인 정사각행렬입니다.

 

   예제:
      \begin{align} I_2 =\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} \end{align}

 

      \begin{align} I_n =\begin{bmatrix}1 & 0 & ... \\0 & ... & 0 \\... & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align}

 

     다. 역행렬
   역행렬은 주어진 행렬 A에 대해 A와 곱했을 때 항등행렬이 되는 행렬입니다. 역행렬이 존재하려면 정사각행렬이어야 합니다.

 

   예제:
   \begin{align} F =\begin{bmatrix}1 & 2& \\3 & 4\end{bmatrix} \end{align}
    역행렬 \begin{align} F^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4 & -2 \\-3 & 1 \end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix}-2 & 1 \\\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{align}

 

   \begin{align} T =\begin{bmatrix}a & b& \\c & d\end{bmatrix} \end{align}
    역행렬 \begin{align} T^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix}d & -b \\-c & a \end{bmatrix} \end{align}

 

3 x 3 이상의 행렬의 역행렬 구하는 방법은 가우스 소거법, 크레이머 규칙, 라플라스 전개 등 개념으로 설명이 가능하지만, numpy.linalg.inv$($$)$를 사용하면 컴퓨터가 잘 계산해 줍니다!!!

import numpy as np

A = np.array()		#행렬 1
B = np.linalg.inv(A)	#행렬 2 : A 행렬의 역행렬

A.dot(B)		# >>> 단위 행렬

 

     행렬의 기본 연산과 특성에 대해 예제와 함께 자세히 설명드렸습니다. 다음 포스트에서는 선형방정식과 해법에 대해 알아보겠습니다. 궁금한 점이나 추가 설명이 필요하면 언제든지 문의해주세요! 감사합니다.