[백준] 11444번 피보나치 수 6 [Python]

$10^18$ 이하의 자연수 n에 대해서 n번째 피보나치 수를 $10^9+7$로 나눈 나머지를 구하는 문제

 

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 $(n ≥ 2)$가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

https://www.acmicpc.net/problem/11444

 

초기값 1, 1을 저장하고,

 

짝수 홀수로 나누어 분할 정복하는 알고리즘을 아래에 정리한 공식에 모듈러 연산을 추가해 작성해서 풀었습니다.

짝수항 : $a_{2n} = a_{n-1} \times a_{n} + a_{n} \times a_{n+1} = a_{n} \times (a_{n-1} + a_{n+1}) = (a_{n+1})^{2} - (a_{n-1})^{2}$
홀수항 : $a_{2n-1} = a_{n-1} \times a_{n-1} + a_{n} \times a_{n} = (a_{n})^{2} + (a_{n-1})^{2}$

 

위 공식에 대한 설명은 아래 포스팅에 해두었습니다.

https://savvy0402.tistory.com/81

 

def main():
    d = {1:1, 2:1}
    n = int(input())

    def f(n):
        if d.get(n):
            return d[n]
        if n % 2:
            d[n] = (pow(f(n//2+1), 2) + pow(f(n//2), 2)) % 1_000_000_007
        else:
            d[n] = (pow(f(n//2+1), 2) - pow(f(n//2-1), 2)) % 1_000_000_007
        return d[n]

    print(f(n))

if __name__ == "__main__":
    main()

 

예제 입력 1 

1000

예제 출력 1 

517691607